Đề thi và bình luận cho kỳ thi HSG Toán quốc gia năm 2016

      Kỳ thi HSG quốc gia môn Toán đã diễn ra trong hai ngày 06/01 và 07/01. Đề thi năm nay được đánh giá là khá nhẹ nhàng khi gồm: Hai bài Đại số (Bài 1 và Bài 5), hai bài hình (Bài 3 và Bài 6), một bài tổ hợp (Bài 4), một bài giải tích (Bài 2) và một bài Số học (Bài 7).

     Khác với các năm gần đây, khi bài giải tích thường là bài dễ nhất của kỳ thi, năm nay, Bài 1 là bài dễ nhất của kỳ thi. Có thể nói là bài mà mọi thí sinh có thể giải quyết trong thời gian ngắn.

Bài 2, thực tế là một bài giải tích không khó nhưng câu 2b đã đem lại sự lúng túng cho các thí sinh. Số 1/2016 có thể thay bằng một số nhỏ tùy ý, cố định. Có thể các em học sinh đã không biết việc chuyển qua chứng minh giới hạn 0 cho dãy {b_n}. Thật sự là điều đáng tiếc nếu bỏ qua câu hỏi này.

Bài 4 là câu tổ hợp xen lẫn một chút Số học. Nếu như câu a) khá dễ khi chỉ cần chỉ ra một cấu hình thỏa mãn thì câu b) thực sự là một thách thức đối với thí sinh. Đến giờ phút này, tôi cũng chưa hình dung phần b) phải tiếp cận thế nào? 

    Ngày thi thứ 2 có vẻ dễ hơn ngày thi thứ nhất khi bài Đại số lại là bài phương trình hàm quen thuộc. Đây là bài toán dễ, và tôi nghĩ hầu hết các thí sinh sẽ vượt qua.

     Hai bài hình tôi không có bình luận gì nhiều, nhưng theo các bình luận trên diễn đàn toán học có vẻ như là các bài toán khá quen, đã xuất hiện trong các kỳ thi trước đó. Các thí sinh đều giải quyết khá tốt hai bài này.

      Bài Số học 7 là bài đem lại cho tôi sự ngạc nhiên lớn. Ngạc nhiên bởi câu a) là một câu hoàn toàn lý thuyết, đã được chứng minh trong rất nhiều sách và giáo trình Lý thuyết số. Bản thân việc có tồn tại hay không số hoàn chỉnh lẻ vẫn là một giả thuyết cho tới ngày hôm nay. 

      Qua thông tin có được từ các đoàn miền Bắc, tôi thấy rằng hầu hết các em được đánh giá là "ngôi sao" của các đội tuyển đều làm được 5 bài trở nên, cá biệt có em làm hết 7 bài. 

      Theo nhận định riêng cá nhân tôi, thì phổ điểm năm nay sẽ cao hơn năm ngoái 3 đến 5 điểm, cụ thể như sau:

Giải nhất: 32-34 điểm trở lên.

Giải nhì: 25-31.5 điểm.

Giải ba: 20-24.5 điểm.

Giải khuyến khích: 17-19.5 điểm.

Các bạn hãy chờ xem nhé.

  

Ngày 1.

Bài 1 (5 điểm). Giải hệ phương trình:⎧⎩⎨⎪⎪6x−y+z2=3x2−y2−2z=−16x2−3y2−y−2z2=0(x,y,z∈R)

Bài 2 (5 điểm).

a)Cho dãy số a(n) xác định bởi an=ln(2n2+1)−ln(n2+n+1) với n=1,2....Chứng minh chỉ có hữu hạn số n sao cho {an}<12

b)Cho dãy số b(n) xác định bởi bn=ln(2n2+1)+ln(n2+n+1) với n=1,2....Chứng minh tồn tại vô hạn số n sao cho {bn}<12016

Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác ABC có B,C cố định,A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn.Gọi D là trung điểm của BC và E,F tương ứng là hình chiếu vuông góc của D lên AB,AC

a)Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.EF cắt AO và BC lần lượt tại M và N.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua điểm cố định

b)Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại E,F cắt nhau tại T.Chứng minh T thuộc đường thẳng cố định

Bài 4 (5 điểm). Người ta trồng hai loại cây khác nhau trên một miếng đất hình chữ nhật kích thước m×n ô vuông (mỗi ô trồng một cây).Một cách trồng được gọi là ấn tượng nếu như:

i)Số lượng cây được trồng của hai loại cây bằng nhau

ii)Số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi hàng không nhỏ hơn một nửa số ô của hàng đó và số lượng chênh lệnh của hai loại cây trên mỗi cột không nhỏ hơn một nửa số ô của cột đó

a)Hãy chỉ ra cách trồng ấn tượng khi m=n=2016

b)Chứng minh nếu có một cách trồng ấn tượng thì cả m và n đều là bội của 4

Ngày 2.

Bài 5 (6 điểm). Tìm tất cả các số thực α để tồn tại hàm số f:R→R thoả mãn
i) f(1)=2016.
ii) f(x+y+f(y))=f(x)+αy với mọi x,y∈R.

Bài 6 (7 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) (với tâm O) có các góc ở đỉnh B,C đều nhọn. Lấy điểm M trên cung BC không chứ A sao cho AM không vuông góc với BC. AM cắt trung trực BC tại T. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOT cắt (O) tại N (N≠A).
a)Chứng minh ∠BAM=∠CAN
b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và G là chân phân giác trong góc A của tam giác ABC. AI,MI,NI cắt (O) lần lượt tại D,E,F. Gọi P,Q tương ứng là giao điểm của DF với AM và DE với AN. Đường tròn đi qua P và tiếp xúc với AD tại I cắt DF tại H (H≠D), đường tròn đi qua Q và tiếp xúc với AD tại I cắt DE tại K (K≠D). Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác GHK tiếp xúc với BC.
Bài 7 (7 điểm). Số nguyên dương n được gọi là số hoàn chỉnh nếu n bằng tổng các ước số dương của nó (không kể chính nó).
a) Chứng minh rằng nếu n là số hoàn chỉnh lẻ thì n có dạng

• n=psm2
  trong đó p là số nguyên tố có dạng 4k+1, s là số nguyên dương có dạng 4h+1 và m là số nguyên dương không chia hết cho p.                                                                                       b) Tìm tất cả các số nguyên dương n>1 sao cho n−1 và n(n+1)2 đều là các số hoàn chỉnh.