Một vài nhận xét về đề thi chọn đội tuyển quốc gia Toán năm 2013

Kì thi chọn đội tuyển Toán quốc gia 2013 (TST 2013) vừa diễn ra trong 2 ngày 05,06/04 tại nhà K, Trường Đại học sư phạm Hà Nội. Kì thi có sự tham gia của 44 thí sinh đạt giải nhất và nhì Toán quốc gia năm 2013 và một thí sinh đặc cách do đạt giải nhì Toán quốc tế năm 2012.
Kì thi diễn ra trong hai ngày, mỗi ngày thí sinh làm 3 câu trong thời gian 4 tiếng rưỡi. Mỗi câu được tính 7 điểm. (Đúng theo qui định của kì thi Olympic Toán quốc tế).
Ngày đầu tiên, đề thi có 3 câu với Câu 1: Hình học, Câu 2: Số học và Câu 3: Tổ hợp.
Theo nhận định cá nhân tôi thì câu hình học phẳng không quá khó, khả năng học sinh làm được trọn vẹn câu này khá cao. Câu 2 là câu số học, liên quan đến tính vô hạn nghiệm của phương trình Pell. Một nội dung rất quen thuộc của số học. Khả năng thí sinh làm trọn vẹn câu này cũng rất cao.
Câu 3 là câu liên quan đến tổ hợp dưới dạng đếm các hàm. Phần 1 của câu 3 là không quá khó, hi vọng nhiều thí sinh làm được.

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ nhất - 05/04/2013

Bài 1.Cho tứ giác ABCD có các cạnh không song song nội tiếp (O,R). Gọi E là giao điểm hai đường chéo và đường phân giác góc AEB cắt các đường thẳng AB,BC,CD,DA lần lượt tại M,N,P,Q.

1/ Chứng minh rằng các đường tròn (AQM),(BMN),(CNP),(DPQ) cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là K.
2/ Đặt min{AC,BD}=m. Chứng minh rằng OK≤2R24R2−m2−−−−−−−−√.

Bài 2.
1/ Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương t sao cho 2012t+1,2013t+1 đều là các số chính phương.
2/ Giả sử m,n là các số nguyên dương sao cho mn+1,mn+n+1 đều là các số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 8(2m+1).

Bài 3.

Với số n nguyên dương, đặt S={1,2,3,...,2n+1}. Xét hàm số f:(S×Z)→[0;1] thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i/ f(x,0)=f(x,2n+1)=0.
ii/ f(x−1,y)+f(x+1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)=1.
Gọi F là tập hợp tất cả các hàm số f thỏa mãn.
1/ Chứng minh rằng |F| là vô hạn.
2/ Đặt vf là tập hợp tất cả các ảnh của f. Chứng minh rằng vf là hữu hạn.
3/ Tìm giá trị lớn nhất của vf.

Ngày thi thứ hai vừa kết thúc lúc 13h trưa nay. Nội dung gồm 3 câu với Câu 1: Bất đẳng thức, Câu 2: Hình học phẳng và Câu 3: Câu tổ hợp. Rõ ràng đề thi ngày thứ hai khó hơn đề ngày 1 rất nhiều. Bài bất đẳng thức trông quen thuộc nhưng để kiếm điểm trọn vẹn bài này thì rất khó. Bài hình không quá khó, hi vọng nhiều thí sinh làm được. Bài tổ hợp là bài khó, mặc dù đề bài khá dài nhưng dường như là bài đếm theo các cách khác nhau. Rõ ràng đây là một dạng toán lạ đối với học sinh phổ thông, mang hơi hướng của toán học cao cấp. Thực sự rất khó cho thí sinh kiếm được điểm ở bài này.

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA 2013.
Ngày thi thứ hai - 06/04/2013

Bài 4. Tìm số nguyên duơng k lớn nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b,c>0 và abc=1

1a+1b+1c+ka+b+c+1≥3+k4.

Bài 5. Cho tam giác ABC không cân, A=45 độ, I là trung điểm BC, H là trực tâm, D,E,F là chân đường cao hạ từ A,B,C. EF giao BC tại P, PH giao IF tại Q.
a/ Chứng minh ∠IQH=∠AIE.
b/ Gọi K là trực tâm tam giác AEF và (J) là đường tròn ngoại tiếp tam giác DPK. Đường thẳng CK cắt (J) tại G khác K, đường thẳng GI cắt (J) tại M khác G, đường thẳng CJ cắt đường tròn đường kính BC tại N khác C. Chứng minh bốn điểm C,G,M,N nằm trên một đường tròn.

Bài 6. Cho một khối lập phương 10X10X10 gồm 1000 ô vuông đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. Bình thì chọn một số dải 1X1X10 sao cho với hai dải bất kì thì không có chung đỉnh hoặc cạnh và đổi tất cả các ô sang màu đen. An thì được chọn một ô bất kì và hỏi Bình là màu gì. Hỏi An phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để với mọi câu trả lời của Bình luôn xác định được những ô nào màu đen.

Nhận định: Để lọt vào đội tuyển toán quốc gia năm nay, thí sinh phải giải quyết được trọn vẹn ít nhất 3,5- 4 bài tức có số điểm lớn hơn hoặc bằng 24 điểm. Hãy chờ xem kết quả thế nào?